Raschiate le carote, tagliatele in piccola dadolata e mettetele a lessare. Fate rassodare l'uovo, lasciandolo cuocere per 10' esatti dall'inizio dell'ebollizione, poi raffreddatelo sotto l'acqua e sgusciatelo. Spuntatela costa di sedano, poi riducetela in minuscola dadolata. Tritate grossolanamente le olive insieme con una cucchiaiata di capperi, precedentemente risciacquati. Scolate la dadolata di carote, raffreddatela e raccoglietela in una ciotola. Mescolatela con le olive e i capperi, i dadini di sedano e la maionese. Aggiungete al composto l'uovo sodo passato al setaccio, amalgamate e insaporite il tutto con un pizzico di sale. Rivestite internamente un piccolo mestolo con una fettina di culatello; riempitelo con una cucchiaiata di composto che chiuderete nella fetta, ripiegandola verso l'interno. Capovolgete il mestolo su un piatto adeguato, sformando in tal modo il "fagottino" con la chiusura verso il basso. Ripetete l'operazione con le restanti 11 fettine di culatello tra le quali distribuirete tutto il rimanente composto. Decorate i fagottini a piacere e serviteli.